Um teorema é uma proposição verdadeira que tem um sentido completo em
seu anunciado. A maioria dos teoremas matemáticos começa da seguinte forma: Se
isso, então aquilo...
Exemplo:
Se
todos os ângulos internos de um triângulo são congruentes, então o triângulo é
equilátero.
A demonstração matemática (ou prova matemática) é o que assegura que um teorema seja verdadeiro. Uma demonstração segue uma rigorosa sequencia lógica de argumentos matemáticos. Os métodos mais comuns de se provar um teorema é o método direto, redução ao absurdo e por indução infinita.
O método direto como o nome já diz parte direto para a demonstração usando uma sequencia de inferências lógicas.
A demonstração matemática (ou prova matemática) é o que assegura que um teorema seja verdadeiro. Uma demonstração segue uma rigorosa sequencia lógica de argumentos matemáticos. Os métodos mais comuns de se provar um teorema é o método direto, redução ao absurdo e por indução infinita.
O método direto como o nome já diz parte direto para a demonstração usando uma sequencia de inferências lógicas.
Exemplo:
prove que o quadrado de um número par é par. ( Perceba que aqui não começou: se isso, então .... Mas Podemos anuncia-lo dessa forma também: Se X é par, então X² também é par.)
Dem.
Seja X um número par qualquer, sendo que um numero par é divisível por 2. Portanto,
um número par é múltiplo de dois, isto é, 2k. Consideremos que X=2k isso
implica que X² = 4k², então X² = 2(2k²). CQD.
O método de indução infinita também é um método direto. Esse método é mais utilizado em aritmética para provar sequencias. Se uma propriedade referente aos números naturais forem verdadeiras para n = 1
, então ela também é verdadeira para o
seu sucessor n = k+1 ,
se, e somente se, for também verdadeira para n = k sendo k um número arbitrário. Dessa forma, prova-se que é válida para
todos os naturais.
O método de indução infinita também é um método direto. Esse método é mais utilizado em aritmética para provar sequencias. Se uma propriedade referente aos números naturais forem verdadeiras para n = 1
Exemplo:
Demonstre que para todo inteiro n positivo,
válido, pois 1 = 1. Por hipótese supomos que n = k
, tem-se:
Vamos provar que a igualdade vale também para o sucessor de k, isto é, k+1, temos:
para n ≥ 1
Dem.
Verificaremos se a igualdade é válida para n = 1. Temos,válido, pois 1 = 1. Por hipótese supomos que n = k
Vamos provar que a igualdade vale também para o sucessor de k, isto é, k+1, temos:
Portanto,
por PIF (Principio de Indução Infinita) a igualdade é válida para todo n ≥ 1
. CQD.
Já o método de redução ao absurdo (conhecido também como prova por contradição) suponha que a hipótese seja falsa e aplica as regras de inferência do método direto chegando a uma situação impossível, uma contradição. Logo, conclui-se que a hipótese original seja verdadeira.
Um axioma (ou postulado) é uma proposição verdadeira e possui um sentido completo e não precisa ser demonstrada, pois a sua afirmação é obvia.
Exemplo: Em uma reta real existe infinitos pontos.
A matemática é fundamentada não só por teoremas, demonstrações e axiomas, mas também por definições, lemas, corolário etc.
Já o método de redução ao absurdo (conhecido também como prova por contradição) suponha que a hipótese seja falsa e aplica as regras de inferência do método direto chegando a uma situação impossível, uma contradição. Logo, conclui-se que a hipótese original seja verdadeira.
Um axioma (ou postulado) é uma proposição verdadeira e possui um sentido completo e não precisa ser demonstrada, pois a sua afirmação é obvia.
Exemplo: Em uma reta real existe infinitos pontos.
A matemática é fundamentada não só por teoremas, demonstrações e axiomas, mas também por definições, lemas, corolário etc.
